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(Pre)publications

  1. An introduction to $p$-adic and motivic integration, zeta functions and invariants of singularities .

    (Notes de cours), preprint Pdf.

    Abstract↴

    L'intégration motivique fut introduite par Kontsevich pour montrer que deux variétés de Calabi-Yau birationnellement équivalentes ont les mêmes nombres de Hodge. Pour cela, il construit une certaine mesure motivique sur l'espace d'arcs des variétés algébriques complexes, prenant des valeurs sur une complétion de l'anneau de Grothendieck des variétés algébriques complexes. Plus tard, Denef et Loeser, aussi comme Looijenga et Batyrev, développent une théorie complète sur le sujet dans une série d'articles avec des applications sur l'étude de variétés et singularités. En particulière, ils développent une fonction zêta motivique, qui généralise la fonction zêta ($p$-adique) d'Igusa et la fonction zêta topologique de Denef-Loeser.

    Ces notes sont une introduction basique à l’intégration motivique géométrique, les idées $p$-adiques précédentes associées, et la théorie des fonctions zêta associées. Nous nous concentrons sur des idées et calculs pratiques, présentant des exemples aussi comme une formule à partir de résolutions partielles obtenu récemment.

  2. On the equality of periods of Kontsevich-Zagier (avec J. Cresson).

    (Soumis), arXiv:1912.01751 Pdf.

    Résumé↴

    Les périodes effectives furent définies par Kontsevich et Zagier comme étant les nombres complexes dont les parties réelle et imaginaire sont valeurs d'intégrales absolument convergentes de fonctions $\mathbb{Q}$-rationnelles sur des domaines $\mathbb{Q}$-semi-algébriques dans $\mathbb{R}^d$. La conjecture des périodes de Kontsevich-Zagier affirme que si une période admet deux représentations intégrales, alors elles sont reliées par une suite finie d'opérations en utilisant uniquement trois règles respectant la rationalité des fonctions et domaines : sommes d'intégrales par intégrandes ou domaines, changement de variables et formule de Stokes.

    Dans cet article, nous discutons des possibles interprétations géométriques de cette conjecture, vue comme une généralisation du troisième problème de Hilbert pour des ensembles semi-algébriques compacts et aussi comme pour des polyèdres rationnels munis d'une forme volume algébrique par morceaux. Basés sur des résultats partiels connus pour des problème de Hilbert analogues, nous étudions des obstructions de possibles schémas géométriques pour obtenir une preuve de la conjecture.

  3. Motivic zeta functions on $\mathbb{Q}$-Gorenstein varieties (avec E. León-Cardenal, J. Martín-Morales & W. Veys).

    Advances in Mathematics 370 (2020), journal Html. arXiv:1911.03354 Pdf.

    Résumé↴

    Nous étudions les fonctions zêta motiviques pour des $\mathbb{Q}$-diviseurs dans une variété $\mathbb{Q}$-Gorenstein. En utilisant une résolution torique partielle, nous réduisons cet étude dans le cas local de deux diviseurs à croisements normaux où l'espace ambiance est une singularité quotients. Pour cela, nous obtenons une formule explicite qui s'applique directement sur la variété singulier quotient. Comme une première application, nous présentons une famille de singularités de surface où l'utilisation des éclatements à poids réduisent drastiquement l'ensemble des candidates à pole. Nous présentons aussi un exemple de de singularité quotient sur l'action d'un groupe non-abélien, pour qui nous calculons quelques invariants de nature motivique une fois une $\mathbb{Q}$-résolution est construite.

  4. Fundamental groups of real arrangements and torsion in the lower central series quotients (avec E. Artal & B. Guerville-Ballé).

    Experimental Mathematics 29 (2020), no. 1, 28–35, journal Html. arXiv:1704.04152 ArXiv.

    Résumé↴

    Nous prouvons que le groupe fondamental du complémentaire d'un arrangement de droites réel complexifié n'est pas déterminé par son treillis d'intersection, donnant un contre-exemple à un problème de Falk et Randell. Nous en déduisons aussi que la torsion dans les quotients des séries centrales descendantes ne sont pas déterminés combinatoirement, ce qui donne une réponse négative à une question de Suciu.

  5. Configurations of points and topology of real line arrangements (avec B. Guerville-Ballé).

    Mathematische Annalen 374 (2019), no. 1-2, 1–35, journal Html. arXiv:1702.00922 ArXiv, contenant deux appendices avec plusieurs dessins detaillés des paires de Zariski.

    Résumé↴

    Une question centrale dans l'étude des arrangements de droites dans le plan projectif complexe $\mathbb{CP}^2$ est : quand la combinatoire d'un arrangement détermine-t-elle ses propriétés topologiques ? Dans le présent papier, nous introduisons un invariant topologique des arrangements des droites réels compléxifiés : le poids de la chambre (chamber weigth). Cet invariant est basé sur le calcul du poids des points, de la configuration duale de l'arrangement, situés dans une région particulière du plan projectif réel $\mathbb{RP}^2$ ; et ce, en ne travaillant qu'avec des propriétés géométriques.

    En utilisant ce point de vu dual, nous construisons plusieurs exemples d'arrangements réels compléxifiés ayant les même combinatoires et diffèrent plongements dans le plan projectif complexe $\mathbb{CP}^2$ (i.e. des paires de Zariski), qui sont distingués par cet invariant. En particulier, nous obtenons des paires avec 13, 15 et 17 droites définies sur $\mathbb{Q}$ et contenant uniquement des points doubles et triples. Pour chacune d'elles, nous construisons des dégénérations contenant des points de multiplicité 2, 3 et 5, qui sont également des paires de Zariski.

    Nous calculons explicitement l'espace des réalisations de la combinatoire de l'un de ces exemples et prouvons qu'il est formé de 2 composantes connexes. Nous obtenons également trois caractérisations géométriques de ces composantes: l'existence de deux coniques lisses, l'une tangente à 6 droites et l'autre contenant six point triples, ainsi que la colinéarité de 3 points triples.

  6. A semi-canonical reduction for periods of Kontsevich-Zagier

    Á apparaître dans International Journal of Number Theory (2021), journal Html. arXiv:1509.01097 Pdf, contennant un appendice avec les pseudocodes des procédures principales.

    Résumé↴

    La ${\overline{\mathbb Q}}$-algèbre des périodes fut introduite par Kontsevich et Zagier comme les nombres complexes dont les parties réelle et imaginaire sont valeurs d'intégrales absolument convergentes de fonctions ${\mathbb Q}$-rationnelles sur des domaines ${\mathbb Q}$-semi-algébriques dans ${\mathbb R}^d$. La conjecture des périodes de Kontsevich-Zagier affirme que si une période admet deux représentations intégrales, alors elles sont reliées par une suite finie d'opérations en utilisant uniquement trois règles respectant la rationalité des fonctions et domaines : sommes d'intégrales par intégrandes ou domaines, changement de variables et formule de Stokes.

    Dans cet article, nous démontrons que toute période réelle non nulle peut être représentée comme le volume d'un ensemble ${\overline{\mathbb Q}}\cap{\mathbb R}$-semi-algébrique compact, obtenu à partir de n'importe quelle représentation intégrale via un algorithme effectif en respectant les règles permises par la conjecture des périodes de Kontsevich-Zagier.

  7. Combinatorics of line arrangements and dynamics of polynomial vector fields (avec B. Guerville-Ballé).

    (Soumis), arXiv:1412.0137 ArXiv.

    Appendice Appendice

    Résumé↴

    Soit $\mathcal{A}$ un arrangement de droites réelles et $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ le module des $\mathcal{A}$–dérivations. Premièrement, on donne un interprétation de $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ comme l’ensemble des champs de vecteurs polynomiaux possédant $\mathcal{A}$ comme ensemble invariant. Nous caractérisons les champs possédant une infinité de droites invariantes. Ensuite, nous démontrons que le degré minimal des éléments de $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ laissant invariant uniquement un nombre fini de droites n'est pas déterminé par la combinatoire de $\mathcal{A}$.

  8. On the minimal degree of logarithmic vector fields of line arrangements (avec B. Guerville-Ballé).

    Proc. XIII Intern. Conf. on Maths. and its Appl., (40), 61-66 (2016), journal Pdf.





Séminaires et mini-cours dispensés

  • An introduction to geometric motivic integration Mini-cours introductoire de 4,5h à l'IMPA, Thematic Program on Singularity Theory.

  • An introduction to $p$-adic and motivic integration, zeta functions and new stringy invariants of singularities. Mini-cours de 20h à l'ICMC-USP.

  • Line arrangements: combinatorics, geometry and topology. Mini-cours introductif de 7h à l'ICMC-USP.



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