Investigación

(Pre)publicaciones

  1. An introduction to $p$-adic and motivic integration, zeta functions and invariants of singularities .

    (Notas), preprint Pdf.

    Abstract↴

    La integración motívica fue introducida por Kontsevich para probar que variedades Calabi-Yau biracionalmente equivalentes poseen los mismos números de Hodge. Para ello, construye une cierta medida motívica sobre el espacio de arcos de un variedad compleja, tomando valores en un completado del anillo de Grothendieck de variedades algebraicas. Más tarde, Denef y Loeser, junto con los trabajos de Looijenga y Batyrev, desarrollaron en una serie de artículos una teoría más completa sobre este tema, con aplicaciones al estudio de variedades algebraicas y singularidades. En particular, se define la función zeta topológica, quien generaliza la conocida función zeta ($p$-ádica) de Igusa así como la función zeta topológica de Denef-Loeser.

    Estas notas son una introducción básica a la integración motívica geométrica, sus precedentes ideas $p$-ádicas y la teoría de funciones zeta relacionadas con ellas. Nos concentraremos en ideas y cálculos prácticos, proveyendo ejemplos y una fórmula de cálculo a partir de resoluciones parciales obtenida recientemente.

  2. On the equality of periods of Kontsevich-Zagier (con J. Cresson).

    (Enviado), arXiv:1912.01751 Pdf.

    Resumen↴

    Los periodos efectivos fueron definidos por Kontsevich y Zagier como los números complejos cuyas partes real e imaginaria son valores de integrales absolutamente convergentes de funciones $\mathbb{Q}$-racionales sobre dominios $\mathbb{Q}$-semi-algebraicos en $\mathbb{R}^d$. La conjetura de periodos de Kontsevich-Zagier afirma que si un periodo admite dos representaciones integrales, entonces ambas están relacionadas por una secuencia finita de operaciones utilizando únicamente tres reglas que respetan la racionalidad de funciones e integrandos: suma de integrales por integrandos o dominios, cambio de variables y formula de Stokes.

    En este articulo, discutimos posibles intepretaciones geométricas de esta conjetura, vista como una generalización del tercer problema de Hilbert para conjuntos semi-algebraicos compactos, así como para poliedros regulares equipados de una forma de volumen algebraica por trozos. Basándonos en resultados parciales conocidos para problemas de Hilbert análogos, estudiamos las obstrucciones de posibles esquemas geométricos para obtener una prueba de la conjetura.

  3. Motivic zeta functions on $\mathbb{Q}$-Gorenstein varieties (con E. León-Cardenal, J. Martín-Morales & W. Veys).

    Advances in Mathematics 370 (2020), journal Html. arXiv:1911.03354 Pdf.

    Resumen↴

    Estudiamos funciones zeta motívicas para $\mathbb{Q}$-divisores en una variedad $\mathbb{Q}$-Gorenstein. Por medio de resoluciones tóricas parciales, reducimos este estudio al caso local de dos divisores con crucees normales donde el espacio ambiente es una singularidad cociente abeliana. Para esto último, damos una fórmula explícita que se puede deducir directamente de la variedad singular cociente. Como primera aplicación, presenttamos una familia de singularidades de superficie donde el uso de explosiones ponderadas reduce drásticamente el conjunto de candidatos a polo. También presentamos un ejemplo de singularidad cociente de tipo no-abeliano, para la cual calculamos algunos invariantes de naturaleza motivica tras construir una $\mathbb{Q}$-resolución.

  4. Fundamental groups of real arrangements and torsion in the lower central series quotients (con E. Artal & B. Guerville-Ballé).

    Experimental Mathematics 29 (2020), no. 1, 28–35, journal Html. arXiv:1704.04152 ArXiv.

    Resumen↴

    Probamos que el grupo fundamental del complementario de una configuración de rectas reales complexificadas no está determinado por su retículo de intersección, dando un contra-ejemplo a un problema de Falk y Randell. También deducimos que la torsión en los cocientes de las series centrales descendentes no está determinada combinatoriamente, lo cual aporta una respuesta negativa a una pregunta de Suciu.

  5. Configurations of points and topology of real line arrangements (con B. Guerville-Ballé).

    Mathematische Annalen 374 (2019), no. 1-2, 1–35, journal Html. arXiv:1702.00922 ArXiv, incluyendo dos apéndices con dibujos detallados de pares de Zariski.

    Resumen↴

    Una de las cuestiones principales en el estudio de las configuraciones de rectas en el plano proyectivo complejo $\mathbb{CP}^2$ es la siguiente: ¿cuándo la combinatoria de una configuración determina sus propiedades topológicas? En este trabajo, introducimos un invariante topológico para configuraciones de rectas reales complexificadas: el peso de cámara (chamber weight). Este invariante está basado en el conteo con pesos sobre la configuración dual, localizados en cámaras particulares del plano proyectivo real $\mathbb{RP}^2$, y que utiliza únicamente propiedades geométricas.

    Haciendo uso de este punto de vista dual, construimos varios ejemplos de configuraciones de rectas reales complexificadas con la misma combinatoria pero diferentes encajes en $\mathbb{CP}^2$ (es decir, Zariski pairs), distinguidos por éste invariante. En particular, obtenemos nuevos pares de Zariski de 13, 15 y 17 rectas definidas sobre $\mathbb{Q}$ y conteniendo únicamente puntos dobles y triples. Para cada uno de ellos, derivamos varias degeneraciones conteniendo puntos de multiplicidad 2, 3 y 5, y que forman también pares de Zariski.

    Calculamos explícitamente el espacio de moduli de las combinatorias para uno de los ejemplos precedentes, probando que éste está formado por dos componentes conexas. También obtenemos tres caracterizaciones geométricas de dichas componentes: la existencia de dos cónicas tangentes, una tangemente a seis rectas y la otra conteniendo seix puntos triples, así como la colinearidad de tres puntos triples específicos.

  6. A semi-canonical reduction for periods of Kontsevich-Zagier.

    Aparecerá en International Journal of Number Theory (2021), journal Html. arXiv:1509.01097 Pdf, incluyendo un apéndice con los pseudocódigos de los algorithmos principales.

    Resumen↴

    La $\overline{\mathbb{Q}}$–algebra de periodos fue introducida por Kontsevich y Zagier como los números complejos cuya parte real e imaginaria son valores de integrales absolutamente convergentes de funciones $\mathbb{Q}$–racionales sobre dominios $\mathbb{Q}$–semi-algebraicos en $\mathbb{R}^d$. La conjetura de periodos de Kontsevich-Zagier afirma que si un periodo admite dos representaciones integrales, entonces podemos pasar de una expresión a la otra por medio de únicamente tres reglas respetando la racionalidad de funciones y dominios: sumas de integrales por integrando o dominio, cambio de variables y formula de Stokes.

    En este artículo, demostramos que todo periodo real no nulo puede representarse como el volumen de un conjunto $\overline{\mathbb{Q}}\cap\mathbb{R}$–semi-algebraico compacto en $\mathbb{R}^d$, a partir de cualquier representación integral, a través de un algoritmo efectivo respetando las operaciones permitidas por la conjetura de periodos de Kontsevich-Zagier.

  7. Combinatorics of line arrangements and dynamics of polynomial vector fields (con B. Guerville-Ballé).

    (Enviado), arXiv:1412.0137 ArXiv.

    Apéndice Apéndice

    Resumen↴

    Sea $\mathcal{A}$ una configuración de rectas real y $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ el módulo de $\mathcal{A}$–derivaciones. Primero, damos una interpretación de $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ como el conjunto de campos vectoriales polinomiales que tienen a $\mathcal{A}$ como conjunto invariante. Caracterizamos los campos vectoriales teniendo un número infinito de rectas invariantes. Luego probamos que el grado minimal de campos vectoriales polinomiales en $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ fijando únicamente un conjunto finito de líneas no está determinado por la combinatoria de $\mathcal{A}$.

  8. On the minimal degree of logarithmic vector fields of line arrangements (con B. Guerville-Ballé).

    Proc. XIII Intern. Conf. on Maths. and its Appl., (40), 61-66 (2016), journal Pdf.





Seminarios y minicursos impartidos

  • An introduction to geometric motivic integration Minicurso introductorio de 4,5h impartido en el IMPA, Thematic Program on Singularity Theory.

  • An introduction to $p$-adic and motivic integration, zeta functions and new stringy invariants of singularities. Minicurso de 20h impartido en ICMC-USP.

  • Line arrangements: combinatorics, geometry and topology. Minicurso introductorio de 7h impartido en ICMC-USP.



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